2 Mart 2023 Perşembe

THE BANSHEES of INISHERIN

The Banshees of Inisherin. Filmin adını Inisherin'in Ölüm Perileri diye söyleyebiliriz. Aslında Colm, ada için bestelediği cenaze müziğine bu ismi vermiştir. Neden der Padraic. Adada ölüm perisi yok ki. Colm da bu ismi sadece kelimenin içinde çift s harfi geçtiği için koyduğunu söyler. Ardından: Belki de onlar yerine, bugün arkalarına yaslanmış, olan biteni seyreden periler vardır, der. Banshee kelimesi kökenini dişi peri anlamınına gelen bean-sidhe kelimesinden alır. İnanca göre, bu periler ölümü önceden haber veren ataların ruhuna sahiptir. Filmde arkaik bir figür olarak ölüm perisi rolünde yaşlı kadın McCormick'i görürüz

Hikayede tek gerçek olan, 1922 yılının ortalarında, ülkenin tam bağımsızlığı için iki milliyetçi grup arasında başlayan ve yaklaşık bir yıla yakın süren iç savaştır. Kardeşin kardeşi öldürdüğü, binlerce kişinin tutuklandığı, idam edildiği savaşın etkisi nesiller boyu sürdü. Filmin son sahnesinde Colm ile Padraic arasında geçen diyalog da savaşın bu yönünü anlatır.

Colm'un artık ödeştiklerini düşündüğü, Padraic'in ise bunu reddettiği bir sahnedir bu. Colm, son bir ümitle ana karaya bakarak '' Savaşın sonuna geldiler galiba, der.

Padraic ise; Nasılsa yeniden başlayacaklar. Bazı şeyler geçmek bilmez. Bu iyi bir şey diyerek filmin de son cümlesini söylemiş olur.

İrlanda kökenli yönetmen Martin McDonagh da doğal olarak bu hikayelerle büyümüş ve nesiller boyu süren savaşın benzerini iki arkadaş arasında geçen kurgusal bir hikaye ile anlatmak istemiş. Hikaye minimalist, ancak anlatılanı vermede muazzam bir etkiye sahiptir. Bir savaşın korkunçluğunu anlatmak için makro büyüklükte sahnelere ihtiyaç yoktur. Savaş, savaştır. Acı acıdır. Ve bu yüzden de dağılan arkadaşlığın yaşattığı acı öyle derin işlenir ki, gerçekte yaşanmış olanı arka planda bırakır; kendi yaşanmışlıklarımıza döneriz. Kendi çıkmazlarımız, kendi paradoksal yanlarımız aklımıza gelir. Öyle tuhaf, öyle şaşırtıcı durumlardır ki bunlar, ortada ne haklı vardır, ne haksız. Ya da iki doğru olsun, seçmek zorunda kaldığımız diğerine rağmen doğrudur. Ancak öyle olsa da anlamamızın sınırlarını test eden ve yepyeni fikirler uyandıran yanları vardır.

O yüzden de paradokslar yüzyıllardan beri düşünürlerin,yazarların,sinemacıların ilgi odağı olmuştur. Örneğin, 8. yüzyılda Homeros'un kahramanı Odysseus için yarattığı paradoksa bakalım. Odysseus devler mağarasına girer ve karşısına çıkan tek gözlü canavarı önce sarhoş eder. Sonra da ona adının Hiçkimse olduğunu söyler ve tam kaçacağı sırada gözüne kocaman bir kazık saplar. Canavar da o anda can havliyle bağırır ve bu sese uyanan arkadaşları Kim var orada diye seslenirler. O da onlara, “Hiç kimse” diye cevap verir.

Sinema dünyamıza dönelim. Özellikle bilim kurgu filmlerde en çok zamansal paradokslar dramatize edilir. Örneğin, Bay Hiç kimse filminde, dokuz yaşındaki Nemo’nun anne ve babasının ayrılığı karşısında kaldığı durumu hatırlayalım.Tren istasyondadırlar. Ya annesiyle yaşamak için onunla birlikte gidecektir ya da babasıyla aynı şehirde kalacaktır. Nemo hangisini seçecektir? Ama film, her ikisini de sunar bize. Eş zamanlı sahneler göstererek, anne ve babasıyla yaşayabileceği sonsuz olasılıklar düşündürür. Ve Bay Hiçkimse Nemo, yaşamının son günlerine geldiğinde ise şunları söyler: ‘’ Doğru seçimi yapmalısınız. Seçmediğiniz sürece her şey mümkündür’’

Biraz daha bilinen bir örnek. Sofi’nin Seçimi. Hafızamızda en çok yer eden o paradoksal ana dönelim. Sofi rolünde Merly Streep vardır. Nazi vahşetinden kurtulmak adına kendisiyle birlikte iki çocuğu için üç belge hazırlamıştır. Ancak kabul edilmesi için iki belge gereklidir Ve ondan yalnızca bir çocuğunu seçmesini isterler. Diğerini ise ölüme terketmelidir.

Yakınlardan, Force Majeur filmini düşünelim. Thomas ve Ebba iki çocuğu ile birliktedirler ve üzerlerine büyük bir çığ gelmek üzeredir. Baba aniden kaçarak onları büyük bir felaketle başabaşa bırakır. Oysa sadece bir çığ bulutudur gelen. Felaket gerçekleşmemiştir ancak bu, başka bir felaketin habercisi olmuştur. Zira, Ebba zor bir ana tanık olmuştur.. Hayatta kalmak için kendi çocuklarını görmezden gelen biriyle artık nasıl özdeşleşecektir?

Gelelim filmimize. Arkadaşlığını bitirmeye karar vermiş olan Colm, bu konuda daha fazla rahatsız edilirse sağ elinin parmaklarını kesecektir. Akıl almaz adeta bilincimizi afallatan bir karardır. Film boyunca karakterleri ikilemde bırakacak seçimlerin en paradoksal olanı. Bir insan parmaklarını keserek kendine neden zarar verir ki? Üstelik keman çalan parmaklarını. Ya da daha derinden soralım: Bir insan yaratıcı tarafını neden tehdit altına alır? Muhtemelen her seyredenin en çok aklına taktığı soru. Bu sorunun üzerinde düşünmeden önce şu soruyu soralım: McDonagh bu filmi neden çekmiştir? Ya da diğer filmleri ile birlikte vermek istediği nedir? Hangi temaları işlemektedir?

Martin McDonagh

Filmimiz, yönetmenin dördüncü uzun metrajlı filmi.Aslında kendisi çok genç yaşlardan itibaren oyun yazarlığı ile tanınıyor ve bu alanda çok başarılı performanslar göstermiş. Sinemaya geçtiğinde bu yeteneğini aynı zamanda yönetmenlikle taçlandırmış. Hemen hemen tüm filmleri; hem derin duygularla acıtan, hem de kahkahalarla güldüren diyaloglarla doludur. Temel olarak, insan deneyiminin ham acısını iletir. Acı; ister bir dost ya da aşk ayrılığı nedeniyle, ister günah ya da suçluluk, ister yalnızlık nedeniyle olsun onu en uç noktasına kadar işler. O yüzden de filmlerinde ölüm,şiddet,intihar temalarına sık sık rastlarız. Ele aldığı karakterler, her an katil ya da psikopat olabilir ya da intikamcı bir anneye dönüşebilir. Her ne olursa olsun onlarn duygularına kayıtsız kalamayız, tekrar tekrar kendimize sormak isteriz. O zaman,adil olan nedir? Ya da, bir başka dünya mümkün mü?. Özetle bu tür filmler; parodoksal fikirler yoluyla zihnimizde adeta yarıklar açar. Sorular üzerine sorular sordurur. Verilen her yanıt adeta bir soruya dönüşür.

Felsefe de böyle bir şey değil mi? Ünlü Fransız düşünür, Gilles Deleuze’nin dediği gibi felsefe her yerde yapılmaz. Yarıklarda, çatlaklarda yapılır. Deleuze’den alıntı yapmamın sebebi sinema ve felsefe ilişkisini inceleyen az düşünürden biri olması. Deleuze, ‘’Sinema’’ isimli kitaplarından birinde sinema yönetmenin de bir felsefeci gibi önemli olduğunu söyler. ‘’Nasıl ki felsefe kavramlarla üretilirse sinema da imajlarla üretilir ve sinema yönetmeni de bir anlamda imajlarla düşünen bir felsefecidir.’’ der. Bir bakıma sinema ve hayatın ne kadar içi içe olduğunun, sinemanın felsefeye katabileceklerinin önemini vurgulamış olur.

O halde kaldığımız yere dönecek olursak; yönetmen, filminin daha başında bir yarık açmıştır. Colm her gün saat ikide (neredeyse adanın kendilerini bu ikiliye göre ayarladığı bir saat gibi) bir araya geldiği Padraic ile artık görüşmek istemez. Ona tek söylediği bir cümle vardır. ''Artık senden hoşlanmıyorum'' Padraic ise şaşkınlığa uğrar. İyi de der, çok masum çok çocukça bir dille ''Dün benden hoşlanmıştın''. Kendisiyle birlikte herkesi şaşırtan bir durumdur bu. Ne olduğunu anlamak için günlerce düşünür ve bir şeyleri ilk defa sorgulamaya başlar. ''Gerçekten sevilmeyecek biri miyim?'' Israrla yanına gider, olan biteni anlamaya çalışır. Colm sonunda kendisini sanatına adayacığını bundan sonra eskisi gibi sıkıcı,hatta dar kafalı biriyle vakit geçirmek istemediğini söyler. Padraic, iyice altüst olmuştur, şimdi. Kendinden daha çok şüphelenmeye başlar. 'Gerçekten ben sıkıcı mıyım?'' Kızkardeşine, bardakilere hep aynı soruyu sorar. Aldığı yanıt, hep aynıdır: Biraz öylesin ama iyi kalplisin. İlk defa Padraic, iyi kalpliliğin yani en iyi bildiği şeyin aslında hakaret eder gibi söylendiğini düşünür. Açıkçası hem rutinini paylaştığı arkadaşından olmuştur hem de en sıkıcı kişi hatta adanın Dominik'ten sonra gelebilecek en aptal kişisi olduğunu düşünmeye başlamıştır. Üstelik konuşmak zorunda kaldığı tek arkadaşı da O’dur şimdi.

Padraic, eskisi gibi olmak için herşeyi dener. Hatta bir ara arkadaşının '1 Nisan' şakası yaptığını bile düşünür. Ancak karşısında sadece uzaktan hayıfla seyrettiği elinde kemanıyla beste yapan, bir yandan dersler veren Colm vardır şimdi. Neden der? Neden? Kendi dışında herkes vardır onun hayatında. Hatta oğlu Domininic'e cinsel tacizde bulunan adanın polisi ile bile konuşmaktan çekinmemiştir. Colm ise böyle bir şeyden habersizdir ve zaten de kimse ile yakınlığı seçmemiştir. Tüm derdi beste yapmak ve bunun için bir zamanlar en yakın olduğu kişiden uzak olmaktır. Ancak ilerleyen sahnelerde Padraic, konuşmakta o kadar ısrar eder ki, sonunda Colm aralarındaki en tehditkar cümleyi söyleyiverir. ''Parmaklarımı keseceğim.'' Olay örgüsünü daha da yukarı tırmandıracak en çarpıcı andır bu. Şimdi başında sorduğumuz soruya tekrar dönelim.

Bir insan yaratıcı tarafını neden tehdit altına alır? Öncelikle.yönetmenin bu filmi neden çektiğini düşünürsek, ilk aklımıza gelen savaşın kötülüğünü iki insanın dağılan ilişkisi üzerinden hissettirmek istemesi olur. Bu konuda insanın zor durumda kalabileceği öylesine grift bir yerden başlar ki, asıl savaşın, asıl kötülüğün içimizde olduğunu düşünmeye başlarız Zira Colm, Padraic'in baskılarıyla artık öyle bir noktaya gelmiştir ki, kendisine kötülük etmeyi dahi göze almıştır. Padraic ise, en sevdikleri ve sonunda yanından ayırmadığı eşeği de gidince kötü olmaya karar vermiştir. Bu neden böyle? Hikayeyi biraz daha zorlayalım. Başında Colm Padraic'e artık çok zamanı kalmadığını bundan sonra Mozart gibi, Beethoven gibi arkasında bir eser bırakmak istediğini söylemiştir. Çünkü o ana kadar sanatı adına hiçbir şey yapmamış, çok değersiz işlerle kendini oyalamıştır. Üstelik en değersiz bulduğu iş, Padraic gibi sıradan birinin gündelik gevezeliklerinden başka bir şey değildir. İlk senaryoma göre Colm, kendini geçmişi için suçlamaktadır. Artık, kararını vermiştir. Beste yapacak ve bu 'Ya hep ya hiç uğruna' olacaktır. Bunun için onun dikkatini dağıtacak tek bir şey vardır. O da Padraic'tir. Çünkü Padraic demek, onun yeni hayatını kavramayacak eski hayatından kalan biri demektir. Açıkçası yeni hayatında onu bir engel olarak düşünmektedir. Padraic tarafında neler olmaktadır?

Padraic de bir taraftan arkadaşının onu reddetmesi ve değersizleştirmesiyle bir varolma savaşı vermektedir. Tahmin edersiniz ki, Colm gibi hayatını sorgulayan, kendisi için kararlar alan biri değildir. Sadece annesi, babası ve etrafındaki herkes gibi verili hayatı yaşamakta hatta mutlu olduğunu düşünmektedir. Bunu en çok da kızkardeşinin sorduğu şu sorudan anlarız. Hiç yalnız olduğunu hissettin mi? Ne biçim bir soru bu der, Padraic. Şimdi milletin derdi ne? Tek dostu Colm ona yetmiştir ya da hayatını onunla doldurmuş olduğunu bile bu ayrılıktan sonra farketmiş olabilir. Nihayetinde şöyle söyleyebiliriz: Colm kendisiyle var olmaya, Padraic de onunla var olmaya çalışmaktadır. Burada ikisinden birine haklı ya da haksız diyebilir miyiz? Yönetmen adeta önümüze yaşanmış ama şimdi dağılmakta bir ilişki sunuyor. Birbirlerinin ruh ikizi olmasalar da (Bunu bardaki birilerinden duyarız. Ne de olsa Colm gibi düşünür birinin Padraic gibi sıradan biriyle işi ne? Evet, ortada yaşanmış bir dostluk, anılar varken kendisinin anlayamadığı bir sebeple bir kaos içine çekilmiştir. Ancak bundan daha felaket olanı artık Colm'un güvendiği biri olmadığını hatta deli olduğunu düşünmeye başlamasıdır. Bir insan neden parmaklarını keser? Padraic, Colm'un bu yeni haliyle nasıl özdeşleşecektir? Her ikisi içinde paradoksal bir durum.

Şimdi de hikayeyi biraz zorlayalım ve yönetmenin küçük fantaziler serpiştirdiği yan yollara sapalım. Buralarda yaratıcılık ve delilik, yaratıcılık ve oyun, mitolojik ve dini semboller, psikanaliz ve arzu ilişkisi gibi alt metinler okuyabiliriz.

Öncelikle, Padraic’in Colm’u ararken evine girdği sahneye bakalım. Orada neler vardır? Kuklalar, maskeler, ve daha başka oyun türü bir çok şey. Acaba Colm, geçmişinde bir kuklacı olabilir mi? Öyle değilse bile kuklalar ve maskelerle onun kendisine bir oyun dünyası kurmuş olduğunu düşünebiliriz. Yönetmenin bir diğer filmi In Bruges’da olduğu gibi dünya kazan kaybet dünyasıdır. Bu dünyada ölümle yaşam o kadar içiçedir ki, hatta kendi hayatına bir anda son verebilirsin. Yaşam bir oyun sahnesi gibidir. Herkes kolaylıkla benim oyun arkadaşım ya da kuklam olabilir . Belki de bu filmde Padraic, Colm için bir kukla rolündedir. Kendisine bağlıdır ve onu istediği zaman bırakabilir. Onun duygularyla empati kurmadan. İçi boş kuklalar gibi. Colm, yeni kurduğu dünya için çok kararlıdır. Hiç kimsenin bunu bozmasına izin vermeyecek şekilde kendisine adeta ültimatom vermiştir. O halde parmaklarımı keserim. Böylece Colm’un maskelerinden kurtulmak istediğini düşünebiliriz. Kendisine artık yalan söylemeyecek, kendisini oyalamayacak, gerçek benliğine kavuşacaktır.

Tam da burada Padraic’in yüzüne maske taktığı sahnede, Bergman’ın Persona filmini düşünebiliriz. ‘’Persona’’, aslında Carl Gustav Jung’un en temel teorisinde kullandığı bir kavramdır. Ona göre, bu kavram, başkalarının görmesine izin verdiğimiz yüzümüz yani maskemizdir. Böylece onunla tehlikelere karşı kendimizi savunmaya alırız. Ancak bazı durumlarda kişi taktığı maskenin kendisi olduğuna inanabilir. Filmde başına geldiği gibi, Elizabeth yeni yüzü ile, bilinçli olarak susmayı tercih etmiştir, çünkü böylece rol yapmayacak, yalan söylemeyecektir. Burada da , Colm da asıl kişiliğine dönmüş olduğunu düşünmekte ve bunu parmakları pahasına en uç noktaya kadar götürmek istemektedir. Aslında arkasında eser bırakmak istemesi çok da fantezi değlldir. Ancak neden bu, kendisine eziyet edercesine varla yok arasında bir yerde gerçekleşir?

Delilik ile yaratıcılık arasındaki ilişki de bunun gibi sınırları zorlar. Van Gogh’u düşünelim. Nedenlerini bir kenara bırakacak olursak; kulağını kesmiş olması onu sanatından alıkoymadı. Hatta parmaklarını kesseydi de böyle düşünmek güç değil. Tıpkı Colm’un yaptığı gibi. Parmakları gidiyor ama yine de kemanıyla müziğe eşlik ediyor. En son sahilde herşeyini tüketmiş olsa da şarkısını mırıldanmaya devam ediyor.

Şimdi hikayeyi, arzuyu temel alan bir yaklaşımla okumayı deneyelim. Acaba Colm, Padraic’e olan bastırılmış arzusunu sanat yoluyla yüceltmekte midir? Yönetmen, küçük bir fantazisini Colm ile peder arasında geçen bir sahnede düşündürmüştür. Yoksa Padraic’e karşı müstehcen duyguları mı vardır? Colm, pederin bu sorusuna ; ‘’Yoksa sen mi böyle şeyler düşünürsün?’’diye yanıt verir ve büyük bir hışımla yanından ayrılır.’’ Şimdi biraz daha güçlü bir yaklaşım olabileceğini düşündüğüm inancı temele alalım.Zira yönetmenin özellikle son iki filminden yola çıktığımızda şu temaları hep görürüz: Korkunç bir şiddet,grotesk resimler; suçluluk, ceza, kefaret soruları; umut ve umutsuzluk soruları ve neredeyse nihilizm.

İlk filminde bir çocuk, bu filminde bir eşek kazara öldürülmüştür. Oysa çocuklar ve hayvanlar masumiyeti temsil eder ve bir çocuğu ya da sevilen bir evcil hayvanı kazara bile öldürmek günaha giden bir yoldur. (Ahit’e göre İsa’yı üstüne kendi giysileriyle örttükleri bir sıpaya ( filmimizde ise bir minyatür eşeğe) bindirmişlerdir. Ve karşılayan halk kendi giysilerini yollara serip onun önünde eğilmişlerdir.) O halde filmimizde eşeğin ölmesi maneviyatın ölmesidir. Bu da Padraic’in artık kötü olmaya karar verdiği andır. İlginçtir ki, yönetmenin filmlerinde hep günah çıkarma sahneleri vardır ama konuşmalar uzlaşmayla değil, tartışmayla biter.

Nihayetinde oyun, arzu, dini yönden okumaların daha az katılabileceğim yorumlar olduğunu tekrar vurgulamak isterim. Zira yönetmenler, filmlerine bazen böyle zengin okumalar yaptıracak küçük fanteziler koyabilirler. Ancak sonunda işledikleri tema, yola çıkış nedenleridir. Dağılan arkadaşlık, İrlanda’da süren iç savaşın bir alegorisidir. Film bizi hikayenin ötesinde bir paradoksal alana taşır. Öyle ki, sorular üzerine sorular sordurur. Verilen her yanıt adeta bir soruya dönüşür.

03.02.2023

13 Ağustos 2020 Perşembe

Profesör ve Sevgili Denklemi

     Poincare bir yazısında "Matematikçi, matematiği yararlı olduğu için araştırmaz. Araştırır, çünkü ondan haz alır, çünkü o güzeldir" demiştir.
Bir roman uyarlaması olan filmin teması bu duyguya odaklanır. Sayılar adeta gizli metaforları ile açığa çıkmıştır. Dostane olanlar, mükemmel olanlar, asil olanlar... Matematiği çok bilmenize ya da formüllerle boğuşmanıza gerek yoktur. Her şey kafanızın içindeki sezgiyle başlamalıdır.
 
 Eğitimsiz ve tek seçeneği hizmetçilik olan Kyoko, bir matematik profesörünün evinde, onun tutkulu dünyasına kapılarak sayılarla yepyeni bir bağ kurmaya başlamıştır. İsmini profesörden alan oğlu Kök de ilerde onunla kurduğu matematiksel düşlerin izini sürecektir. Ancak bu üçlü için süren güçlü bağ, bir zamanlar kaza geçirmiş profesör için sadece 80 dakika ile olan zamanda sınırlıdır. Kyoko  her  gün kim olduğu sorulduğunda kendini yeniden tanıtacaktır. Ayak ölçüsü nedir? Telefon numarası ya da doğum günün nedir ? Gittikçe olağanlaşan bu ritüeller,  o sınırlı anlar içinde anlam bulur. Tıpkı sınırsızca uzanan bir doğru gibi, içten gören için zaman adeta sonsuzdur. Film ya da roman,  William Blake'in dizelerini anımsatır  :

Kum tanesinde bir dünya görmek 
Ve vahşi bir çiçekte cenneti. 
Tut sonsuzluğu avucunun içinde. 
Ve sonsuzluğu bir saatliğine.

   Serebral müzikler eşliğinde filmin dinginliği sizi daha baştan içine alıyor. Kök, düşlerinin izinden giderek matematiği neden seçtiğini sınıfta anlatırken, pencereden  dalgalarla birlikte Theme of Eternity and Truth şarkısı duyulur. Sonsuzluk ve Hakikat’in sesi aynı zamanda çocukluğundaki o ilk karşılaşmanın sesidir. "Bundan sonra senin adın Kök." Kafası kök sembolü gibi düz olduğu için profesör ona bu isimle seslenir. Nasıl ki kök işareti  içine aldığı her sayıyı korursa  Kök de, her arkadaşını öyle korumalıdır. Bildiğimiz gibi matematikte kök, içindeki her negatif  sayı i'nin karesi ile ifade edilir. Oradan profesörün de sevdiği Euler denklemine gidecek ve sonra başka diğerlerine.
 
“Pi, sonsuz bir evrenden gelerek...
..."e"ye doğru sürüklenir...
...ve utangaç "i" ile tokalaşırlar.
Bir araya gelerek nefeslerini tutarlar.
Hiç birisi birbiriyle bağlantılı değildir.
Ama eğer ki, tek bir adam sadece bir şey eklerse...
... Herşey  dönüşür ve aykırılık ortadan kalkar.”
 
Euler’in bulduğu bu denklem, profesör için de adeta matematiğin özeti gibidir. Aynı zamanda ağabeyin eşi ile  yaşanmış gizli aşkın ithafıdır.
Kalbim 
                 eiπ= -1'dir. 

Bu denklemin sonsuza dek -1 olması gibi.
yeni yarattığımız hayatı da sonsuza dek kaybediyoruz, diye yazmıştır,Sevgili N'me si’ne.
Yine de tek kalan arzusu, onun talihsizliğini paylaşmaktır.
 
  Film iki zaman ve mekanda yürür. Kök, geçmiş aracılığı ile e gibi başka sayıları da hikayeleştirir. Annesinin profesörden duyduğu ilk kavram faktöriyeldir. Kyoka merakla faktöriyel nedir diye sorar. Ayak ölçüsü 24 olduğuna göre, bu sayı 1’den 4’e kadar sayıların çarpımıdır. Peki ya telefon numarası? Prof hızla 1 milyona kadar tüm asalların sayısı olarak yanıtlar. Kök, tahtada profesörün en sevdiği sayılar diye asalları sıralamaya başlar. Her sayı gibi tüm bu sayılar da sonsuzdur. Ancak katıksız ve kuralsız olarak ayrıcalıkları vardır. Boyun eğmeyen bu asil  sayılar gökteki yıldızlar gibi kendi başına durmaktadırlar.
Dostane sayılara gelince; profesör, Kyoka’nın 20 Şubat tarihini 220 diye düşünür ve bir ödül gelen saatinde yazılı 284 sayısını göstererek bunlar dostane (ya da bağdaşık) sayılardır, der. .Her ikisi kendisi hariç bölenlerin toplamıyla birbirine bağlanmışlardır. Bir de mükemmel sayılar vardır, 28 gibi. Bunlar kendisi hariç bölenlerinin toplamını veren sayılardır ve Descartes’e göre mükemmel insanlar  gibi bu sayılar da nadir bulunurlar. İlk mükemmel sayıyı  milattan önce 6. Yüzyılda yaşamış Pythagoras tarafından bulmuştur. Öğrenciler meraklanır. Sayılar bu kadar zamandır var mıydı? Evet der Kök, profesörün de düşündüğü gibi. Hatta bizden de önce vardır.
 
   Bu bize matematikte yüzyıllardır süre gelen meşhur bir tartışmayı hatırlatır.  Matematik doğada var mıdır yoksa insanlar mı icat etmişlerdir. Eğer doğada  varsa ve onları keşfediyorsak bizi Platonikçi bir bakış tarzına götürecektir. Geçtiğimiz yüzyılda Einstein’in relativite, Gödel’in matematikteki tamamlanamazlık teoremleri Platonikçi bir bakışı zedelemişse de bu bakış, filmin vermek istediği duygu ile çok güzel bir harmonia yaratır. Değil mi ki, Platonikçi ya da değil, matematik yine de bağımsız işlemektedir. 
 
   Profesör neden her olayı 80 dakika yaşayıp sonra da unutmasına rağmen sayılarla bağı hala güçlü bir şekilde sürer. Hatta hala matematik dergisine bulduğu ispatları göndermeye devam eder?  Yine Platon'un ideaları gibi,  sayılar doğada vardır ve asla değişmezler. Ne Kyoko, ne Kök, ne de  olaylar gibi yeniden kurulurlar. Noah gösterindeki haliyle kalan Sevgili Nyme bile bu sayılar dünyasına sadece Euler Denklemi aracılığı ile tutunabilmiştir.
 
    O halde Kyoko’nun profesörün yanından ayrılmasına gerek yoktur. Ertesi gün tekrar unutulacak da olsa zaten  profesörden öğreneceğini almış, kendi hakikatini bulmuştur. Bu yüzden profesör Nyme'ye ''Kalp gözü ile gören için zamanın önemi yoktur.'' demiştir.  Profesör için de çocuklar tutunduğu bir başka daldır. Hafızası sınırlanmış olsa da onlar için  fikri güçlüdür. "Onları incitmemelidir. Ne de olsa bizimkinden çok farklı sorunlar için çabalıyorlardır. Senin oğlun mu var sorusunu her daim soracak, Kök her gün hayatında olacak, her yeni Kök'le matematiği ve aynı takımı tuttukları beyzbol maçlarını  paylaşacaktır. Ödüller almış da olsa, matematikte önemli olanın  doğru kanıt değil, güzel kanıt olduğudur.

25 Mayıs 2020 Pazartesi

FRAKTAL BOYUT

Matematik, analitik fonksiyonlarla doludur ama gerçek dünyada onlara hemen hemen hiç rastlanmaz. Doğa böyle bir betimlemeye uyacak ölçüde basit ve düzenli değildir. Doğadaki nesnelere ne kadar yakından bakarsak, onların çoğunun ‘tam anlamda’ düzgünlükten yoksun olduklarını fark ederiz. Bir anlamda,onlara ne kadar yaklaşırsak, onların giderek küçülen düzeylerde ama hep aynı ölçülerde düzensiz olduklarını görürüz.

20 Mayıs 2020 Çarşamba

Sonsuzluk Ne Kadar Büyüktür?

Matematiksel kesinlik anlamında 'sonsuzluk' serüveni,1870' lerde Georg Cantor 'un küme kuramıyla başlar.Cantor, bu kuramdan yola çıkarak tek bir sonsuzluğun olmadığını,farklı boyutlarda başka sonsuzluklar olduğunu gösterir.Ardından sonsuzluk düzey- leri için sürey varsayımını ortaya atar.Bu varsayıma göre; doğal sayıların sonsuzluğu ile reel sayıların sonsuzluğu arasında başka bir sonsuzluk yoktur. Cantor, sezgisel olarak bunun doğru olduğuna inanır, ne var ki yıllar süren çabanın ardından bunu kanıtlayamaz. Hipotezin yanlış olduğuna inanan Kurt Gödel da bunu kanıtlayamaz.Ancak daha sonra o ve Paul Cohen ,bu hipotezi kanıtlamanın da yanlışlamanın da mümkün olmadığını gös- terir.Gödel'in eksiklik teoremleri bağlamında 'Sürey Varsayımı 'nın vardığı sonuç; dildeki 'karar verilemezlik' durumunun matematik dünyasına taşınmasıdır.

Hilbert'in bir zamanlar metamatematiğinden yola çıkarak ,'bilmeliyiz,bileceğiz' ifadesi artık yerini,bilgide sınır görüşüne bırakmıştır.Bu bir anlamda,matematikte evrensel bilgi anlayışından kopuştur. Bir başka anlamda da ;bir şeyleri kendi içinde anlamanın,kendi evrenlerinde keşifler yapmanın özgürleştirici yanına işaret eder.

'Sonsuzluk' gizem dolu bir kelime.Sonu gelmeyen zaman,sonsuz uzaylar, sonsuz yaşam arayışı..İlk çağlardan beri bu karmaşık fikirlerle uğraşıyoruz.

Yaşamımız sonludur ama sonlu da olsa sonsuzluk hakkında düşünüyoruz. Ancak sonsuzluk,başka alanlar için erişilemez da olsa matematiğin koşulları farklıdır.Cantor'le birlikte, sonsuzluğun anlamı açılmış,başka sonsuzluklara gidilmiştir..Ancak bu da bazı devrimci düşünceler sonrasında gerçekleşeektir.

Başlangıç itibariyle bizi sonsuzluk düşüncesine taşıyan sayı tasarımımızdır. Sonsuzluk nedir? deyince verilen tanım 'sınırsız bir niceliği ifade eder.' Bu tanım,' büyük,daha büyük' tanımımıza uyar. Çünkü 1,2,3..diye giden sayılar,sınırsız olarak bizi sonsuzluk düşüncesine taşır.Ardından sonsuzlık ile ilişkin küme kuramına dair çalışmalar,George Cantor (1845-1918) tarafından başlatılmıştır.Bu çalışmalarla birlikte matematik dünyası yeni bir yol ayrımına girecektir.

Araştırmamız; küme ve sonsuzlukla ile eşik konumundaki sürey varsayımı (continuum hypothesis ) hakkındadır.Çalışmamızın kapsamı sürey varsayımının gelişimini ortaya koymak ve karar verilemezlik ile bilgide sınırın felsefi sonuçlarını irdelemektir.

Hilbert'in Listesi

Matematiği canlı kılan bir yerde, çözülememiş harika sorulardır.İşte bu harika sorulardan birine, önce 1900 yazına, Paris Sorbonne'a gidelim.Burada tüm zamanların en büyük matematik kongrelerinden birisi düzenlenmiştir.Geleceği parlak,Alman matematikçi David Hilbert,elinde çözülmesi gerektiğine inandığı 23 soruluk liste, özellikle genç yeteneklere seslenmektedir.Tabi ki bu seslenişinin arkasında 'bilmeliyiz,bileceğiz' bakışı yatar.Ona göre,matematik çözülecek bu sorularla aksiyomatik hale getirelecek, varsa tüm paradokslarından kurtulacaktır. Sürey Varsayımı, işte bu çözülmesi gereken ilk problem olarak Hilbert'in listesinde tarihteki yerini alır.

Sürey Varsayımı,doğal sayıların sonsuzluğu ile reel sayıların sonsuzluğu arasında başka bir sonsuzluk bulunup bulunmadığını sorar.

Gayet anlaşılabilir bir soru olarak gözükebilir ama 1870' lerde Cantor bunu ortaya attığında farklı sonsuzluklar arası düzen arayışındaydı. ve 'yoktur' inancıyla ortaya attığı bu problemi,kendisi de çözememişti.Cantor bu noktaya nasıl gelmişti?

Cantor ve Sonsuzluk

Sonsuzluk nedir? Cantor,1870'li yıllarda,o güne kadar hiçbir matematikçinin cesaret edemediği ,anlaşılmaz bulduğu bu kavramın, anlaşılabilir olduğunu göstermişti..Üstelik tek bir sonsuzluk değil,sonsuz sayıda pek çok sonsuzluk vardı.İşte ,onu bu sonsuzluklar diyarına götüren süreç,kendisinin de kurucusu olduğu küme kuramıdır.

Küme Kuramı

Sezgilerimizle bir kümenin bir şeyler topluluğu olduğunu söyleyebiliriz.

Örneğin,1'den 5'e kadar giden tam sayılar bir küme oluşturur.(1,2,3,4,5) olarak gösterilen bu küme sayılabilir,sonlu kümedir.Tam sayıların tamamı da bir küme oluşturur.Sonsuza kadar giden bu küme ise sayılabilir bir sonsuz kümedir.Bunun gibi başka kümeler de bulabiliriz.Çift sayılar,tek sayılar,asal sayılar her biri sayılabilir anlamda sonsuz kümelerdir.

Cantor, işte bu kümelerden bazılarını aldı ve bire-bir eşleştirme yoluyla onların eş güçte ya da aynı sayallıkta olduklarını gösterdi.

Örneğin,

1,2,3 ...diye başlayıp sonsuza kadar giden sayılar kümesi ve onun alt kümesi olarak 2,4,6...çift sayılardan oluşan sayılar kümesini ele alalım.

1, 2, 3, 4, 5, 6, …

2, 4, 6, 8, 10, 12, …

Şimdi sonsuza giden bu dizileri, 1 ve 2 , 2 ve 4 , 3 ve 6 şeklinde eşleştirirsek,sonsuza kadar giden bu iki dizinin eş güçte (eş sayallıkta) olacağını söyleyebiliriz.Yani onlar aynı boyutta sonsuzluklardır.Aynı şekilde;bu sayılar kümemizi,başka alt kümeleriyle de karşılaştırsak onlar da aynı boyutta sonsuzluklar olacaktır.Örneğin tek sayılar,asal sayılar hatta Galileo'nun bir zamanlar karşılaştırmış olduğu karesel sayılar.

Bu örnekler ilk bakışta paradoksal ifadeler gibidir.Örneğin,biri diğerinin yarısı gibi duran doğal sayılar ve çift doğal sayılar; nasıl oluyor da eş güçte olabilirler? Antik Yunanlıların 'bütün parçadan daha büyüktür' kavrayışı ile, sezgilerimiz adeta zorlanır.Ancak buradaki sorun, bu sayıların sonsuza kadar sayılabilmesi,yani sonlu gibi davranmasıdır..Hilbert'in 1924'te bir dersteyken anlattığı düşünce deneyi de sonsuz kümelerin işte bu sıra dışı davranışına örnektir.1

Hilbert'in Sonsuzluk Oteli

Hilbert, sonsuzluk oteli varsayımında, sonsuz sayıda odası bulunan bir otel tasarlar.

Üstelik bu otelin tüm odaları doludur.Yani her n sayısı için n numaralı oda tutulmuştur.

Ancak,geç saatte bir konuk gelir ve kendisi için boş bir oda ister.Hilbert ne yapacaktır? Bu konuğu ya geri gönderip otelimiz dolu diyecektir ya da fazladan bir oda bulmaya çalışacaktır.Oysa,otelin bir kuralı var.Ne olursa olsun konuğu geri göndermemektir. Hilbert,düşünür ve çözümü bulur.1 numaralı konuğuna 2 numaralı odaya geçmesini,2 numaralı olana 3 numaraya geçmesini,3 numaralı olana 4 numaralı odaya geçmesini..Böyle böyle konukların her biri,bir yanındaki odaya geçer.Yeni konuksa boş kalan bir numaralı odaya yerleştirilir.Problem çözülmüştür.

Gece,bitmemiştir.Çok daha ciddi bir şey olur.Bu kez sonsuz sayıda insan taşıyan bir otobüs gelir.Hilbert sukünetini bozmaz, buna da bir çözüm bulur.Konuklarına döner.Bu kez de her birinin çift numaralı odalara geçmesini ister.1 numaralı konuk 2 numaralı odaya,2 numaralı konuk 4 numaraya,3 numaralı ise 6 numaraya..Bu böyle devam eder.Sonunda bu yeni gelenler için de yer bulunmuştur..Her biri boş kalmış olan tek numaralı odalara yerleştirilir.Hilbert memnundur.

Çok geç bir vakit,bu kez de sonsuz sayıda insan dolu sonsuz sayıda otobüs gelir.Onlar için de yerler hazır olacaktır.Konuklar asal sayı numaralı odalara geçerler.Boşalan odalara da yeni gelenler..Aynı işlem daha daha büyük sonsuzlar için tekrarlanır durur.

Hilbert odalarının sonu yoktur.

Şimdi de, rasyonel sayılara geçelim.Onlar da diğerleri gibi aynı sonsuzlukta mı?

Cantor,bunun için rasyonel sayıların sayılabilir anlamında eksiksiz bir listesini göstererek onların da diğerleri gibi olduğunu kanıtladı..

Bunun için,önce bütün rasyonel sayıları sonsuz bir sistemde toplayan bir matris tasarlayalım...

İlk sırayı payı 1 olan rasyonel sayılarla oluşturalım..İkinci sıra payı 2 olanlarla..Üçüncü sıra payı 3 olanlarla ..Bu böyle devam eder.Buradan,bütün rasyonel sayıların, sistemin bir yerinde bulunacağı anlaşılır.Örneğin 45/72 nerede mi?.45.. satır 72.. sütun.Şimdi bütün sayıları çaprazlama metoduyla birinden diğerine giden çizgi boyunca düşünerek liste haline getirelim..

1 , 2, 1/2, 1/3 , 2/2 , 3/1 , 4/1 , 3/2 , 2/3, 1/4 , 1/5 , 2/4 , 3/3....

1 2 3 4 5 6 . . .

Artık elimizde rasyonel sayıların da eksiksiz bir listesi vardır.Bunu 1'den başlayan N doğal sayılarıyla denkleştirdiğimizi düşünelim.Demek ki öncekiler gibi bu küme de sayılabilir sonsuzluklara karşılık gelir.Bu da onları sonsuzluğun aynı çeşidinden yapar.

Cantor için şimdi sırada reel sayılar vardır. Ve çalışmaları sonucunda gördü ki,reel sayıların sonsuzluğu diğerlerinden daha büyüktü. Bunu,bütün reel sayıları listelemeye çalıştığında listede eksik olan bir ondalık sayıyı göstererek kanıtlamıştı.

Peki,bunu nasıl gösterdi?

Bunun için,önce 0 ile 1 arasındaki reel sayıların bir listeye yazılabildiğini varsayalım. Eğer böyle bir liste yapılabilirse, listenin ilk sırasındaki reel sayı ilk doğal sayıya (1’e), ikinci reel sayı (2'ye) ve sırasıyla tüm reel sayılar doğal sayılara birebir eşlenebilir. Dolayısıyla, böyle bir liste yapılabilirse doğalsayılar kümesi ile reel sayılar kümesi eş sayılı, yani eş güçte olacaktır..

Örneğin sayılarımız şunlar olsun:

1) 0,14957.......

2) 0,25376.......

3) 0,00243.......

4) 0,18229.......

C= 0,.........

Şimdi 0 la 1 arasında öyle bir reel sayı kurgulayacağız ki bu sayının bu listede yer alması mümkün olmasın. Bu sayıya C adını vereceğiz.Ardından, bu sayının virgülden sonra gelen rakamlarını,yukarıda verilen sayıların basamaklarına bakarak yazalım.

Yani,C sayısının virgülden sonraki ilk basamağını 1'den farklı, 2. basamağını 5'ten farklı,

3. basamağını 2'den farklı, 4. basamağını gene 2'den farklı birer rakam olarak seçelim. İşte, bu noktada fark ederiz ki, C 'nin kendisi bir reel sayı olduğu halde bu listede yer alan her sayıdan en az bir ondalık basamakta (sayı listemizde kaçıncı sırada yer alıyorsa o basamakta) farklı olacağıdır..Buradan da C sayımızın listenin herhangi bir yerinde yer alamayacağı anlaşılır. Demek ki varsaydığımız birebir eşleme mümkün değil.

Kaçınılmaz sonuç şudur ki R reel sayılarının eksiksiz bir listesi olamaz!..

Buradan da reel sayıların sonsuzluğunun,diğerlerinden, daha büyük olduğu sonucuna ulaşılır.

Başından beri ne yapıldı?

1'den başlayan doğal sayıların,bu kümeyi kapsayan rasyonel sayılarla eş güçte olduğu gösterildi.Ancak irrasyonyel sayıları rasyonellere ekler ve ardından reel sayılar kümesine varırsak,sonuçta gördüğümüz ise reel sayıların daha üst mertebede bir sonsuzluk aldığı oldu..

Bu devrimci bir düşünceydi.Cantor için,artık bir sonsuzluk değil iki sonsuzluk vardı.Birden sonsuzluk kavramı büyümüştü.Acaba daha daha büyük sonsuzluklar da olabilir miydi? Tabi ki Cantor için,bu beklenmedik anların devamı gelecekti.

Başka büyük sonsuzluklar ve Sürey Varsayımı

Cantor,farklı sonsuzluk düzeyleriyle karşılaşmıştı.Şimdi bunları birbirinden ayırmak gerekecekti.Ve her biri için verilecek bir kardinal sayıdan yararlandı.Bir kümenin kardinalliği,kümenin genişliğidir.Örneğin (a,b,c) kümesinin kardinal sayısı 3' tür.

Peki,ya sonsuz kümeler?

Cantor N doğal sayıların kardinal sayısını İbrani alfabesinin ilk harfi ℵ0 (alef sıfır) olarak belirledi.R sayısının kardinal sayısının da 'continuum'dan hareketle C ile ifade etti. Buradan,N' in sonsuzluğu R nin sonsuzluğundan daha geri bir sonsuzluk olduğuna göre ℵ0 < C yazabilirdi.
ℵ0 ve C arasına başka kardinal bir sayı gelebilir mi? Sıradan eşitsizlikler vardır.Herhangi iki kesir arasında başka kesirler olduğu gösterilebilir 1< 2 gibi tam sayı eşitsizliklerini alırsak eğer, araya başka bir tam sayı sıkıştırılamaz.
Cantor, ℵ0 ve C arasında başka kardinalitede bir sonsuzluk var mı diye sormuştu ve 'yoktur' varsayımından hareket etti.Ancak bu soru kendisini açmaza soktu.(sürey varsayımı ^{^[2}

Cantor,ardından sonsuzun niteliği ile ilgili başka keşiflerde de bulundu.Bunların en meşhuru sonlu ötesi kardinal sayıların yaratılmasıdır. Cantor, ℵ0 ' den başlayarak daha üst mertebede sonsuz bir küme kurdu. N 'den başlayarak N 'in alt kümelerini kapsayan N1 kümesini kurdu ve bu kümenin kardinal sayısını ℵ1 ile gösterdi.Bu inşanın N1 üzerinden tekrarlanması sonucu N2 ortaya çıkar.Onun kardinal sayısı da ℵ2 dir. Böylece bu işlem defalarca tekrarlanarak daha üst mertebede daha büyük alefler dizisini üretti.

ℵ0 < ℵ1 < ℵ2 < ℵ3 < ...

Artık şimdi sonsuzlukları sayabilirdik.Bir kapı açılmıştı ve matematik farklı bir yere doğru uzanıyordu

'Sonsuzluk korkusu, gerçek sonsuz en yüksek biçimiyle bizi yaratmış ve ayakta tutuyorsa da,ikincil sonlu ötesi biçimlerinde bütün çevremizde yer alsa da,hatta zihinlerimizi işgal etse de onu görme olasılığını mahveden bir tür miyopluktur.'

George Cantor

Leopold Kronocker onu şarlatanlıkla suçladı ve onun makalelerinin yayınlanmasına karşı çıktı.

Henri Poincaré onun için 'Şu Cantor’un fikirleri matematiğin yakasına yapışmış kötü bir hastalık. Ve matematik bir gün onu da tedavi edecektir.' dedi.

Cantor daha sonra, dostu Dedekind’e yazdığı bir mektupta,

'Bunu bulduğumu asla iddia etmemeliydim.Benim zarif kanıtım işte bu yıkıntıların altında yatıyor.' diye yazacaktı.Oysa tarih onun haklılığını ortaya çıkardı.İnsanlık onun kapısını açtığı sonsuzluğu, Hilbert’in şu sözleriyle hatırlayacaktı:

'Hiç kimse Cantor'un yarattığı cenetten bizi kovamayacaktır.'3

Bilmeliyiz, Bileceğiz

Cantor'un Küme Kuramı matematik dünyasında kendini yavaş yavaş kabul ettirse de bunun bir diyeti vardı.Bazı tanımlamalar yüzünden ortaya paradokslar çıkmaya başlamıştı.. Örneğin,Frege'nin küme kuramında Russell'ın bir paradoks bulması ve bunu tipler kuramıyla çözmesi ancak kendisinin de başka bazı paradokslarla karşı karşıya kalması.Hilbert, bunların artık olmaması anlamında “meta-matematik” programını başlatttı.

Yani,matematik içerikten arındırılmış bir şekilde tamamen biçimselleştirelecek, aksiyomatik hale getirilecekti..Matematik dil evrensel bir dildi ve öyle de kalmalıydı.

8 eylül 1930'da bir radyo röportajında,bu dilin matematiğin bütün doğrularının kilidini açmak için yeterince güçlü olduğunu anlatıyordu.Röportajda 23 problemin hepsinin yakında çözüleceğini, matematiğin sarsılmaz ve mantıksal temeller üzerine kurulacağından şüphesinin olmadığını söylemişti.Antik Yunandan matematikçiler tarafından söylene gelmiş olan çözülemeyecek soru yoktur dedi ve olayı şu cümleleri ilan ederek bitirdi.

'Bilmeliyiz,bileceğiz.'

Oysa beklenmedik bir şey oldu.

Hilbert'in şansına başka bir matematikçi, onun düşlerini yıkacak ve matematiğin kalbine belirsizliği yerleştirecekti..Belirsizliği yıkan matematikçi, Avusturyalı Kurt Gödel'di.

Gödel'in sürey varsayımına götüren süreç,gençken katıldığı 'Viyana Çevresi' toplantılarında başlar.Buradaki ünlü felsefe ve bilim insanlarıyla girdiği tartışmalardan yararlanan Gödel,gelecekte devrim yaratacak bir düşünceye adım adım yaklaşacaktı.

Hilbert'in listesindeki 2. soru,onun matematik dünyası için önemli bir basamaktır. O da ,Hilbert gibi bu soruyu çözmek ve matematiğe mantıksal bir temel hazırlamak istiyordu.Ama bulduğu şey onun bile şaşırmasına neden oldu.Matematiksel mantık üzerine yaptığı tüm çalışmaları Hilbert'in istediklerini kanıtlamanın tersine bir sonuçtu.Adı...Eksiklik Teoremi..

Gödel'in Teoremi

Gödel;Bertrand Russell ve Alfred North Whitehead' ın birlikte ele aldıkları Principia Mathematica' ve Peano sistemi üzerinde çalışıyordu.Ve çalışmaları sonunda gördü ki; matematiğin herhangi bir mantıksal sisteminde,sayılar hakkında doğru olan ama kanıtlanması imkansız ifadeler vardı.

Raporuna 'bu açıklama doğru olamaz' ifadesiyle başlamıştı.

Henüz bir matematiksel ifade değil. Sonra da, asal sayılar üzerine inşa edilmiş bir kodla Gödel bu ifadeyi saf bir matematiksel ifadeye dönüştürdü..Şimdi bu ifade, doğru ya da yanlış olmak zorundadır.Eğer bu ifade yanlışsa ,bu aynı ifadenin doğrulabildiğinin kanıtlanabileceğini gösteriyordu.Yani ifade doğru olurdu ve bu da ortaya bir çelişki çıkarıyor.Yani bu ifade doğru anlamına geliyor Diğer bir deyişle işte size doğru gelen ama kanıtlanması imkansız matematiksel bir ifade.

Gödelîn kanıtı matematik dünyasını krize soktu.Ya üzerinde çalıştıkları problem mesela Goldbach Varsayımı ya sa Riemann Hipotezi de böyle bir şeyse?

New Jersey kıyısından genç bir matematikçi Paul Cohen, Gödelîn uğraştığı şeylerle ilgileniyordu.Ancak gerçekten izini bırakabileceği bir matematik alanı bulmakta zorluk çekiyordu..Ta ki Cantor'un Sürey Varsayımı hakkında bir şeyler okuyana kadar.Cohen,daha 22 yaşında bu soruyu çözebileceğine karar verdi.Ve bir yıl sonra iki cevabın doğru olabileceğin ile dair ilginç bir keşifle ortaya çıktı.Sürey varsayımının doğru varsayılabileceği matematiksel bilgi vardı.Tam sayılar ve reel sayılar arasında başka bir sonsuzluk yoktu.Ama eşit derecede doğru olan başka bilgide de sürey varsayımının yanlış varsayılabileceği idi. Cohen'in kanıtı doğru gözüküyordu ama yöntemi o kadar yeniydi ki kimse bunun tamamen doğru olabileceğinden emin olamıyordu..Güvenilecek tek kişi vardı..O da Gödel'di.Ve Gödel, çalışmayı inceledi .Bu ispat,doğru dedi ve çalışmasını onayladı.

Tüm bu sonuçlar Gödel'i ,matematikten felsefeye taşıdı.

Gödel'in Matematik Felsefesi

Gödel'in, önce 1947 yılında,Cohen sonrası önemli bazı eklemelerle 1964 yılında yayınladığı 'Cantor'un Süreklilik Hipotezi Nedir?' adlı makalesini yayınladı.

Gödel, bu makalesinde hipotez için üç olasılık bulunduğunu belirtir:

Hipotez;doğrulanabilir, çürütülebilir ya da karar-verilemezdir. Gödel' e göre sürey varsayımı, matematiksel olarak karar-verilemezdir.Daha açık bir şekilde,Cantor'un ortaya attığı sürey varsayımı, bildiğimiz küme kuramının aksiyomları ile ne yanlışlanabilir ne de doğrulanabilirdir.

Açıkçası , sürey varsayımı, küme kuramının aksiyomlarından bağımsızdır.

Bunun Gödel için felsefi sonuçlarına gelince,Sürey Varsayımının, karar verilemez olması, sorunun 'anlamsız' olduğu anlamına mı gelir? Gödel için bu sorunun yanıtı; anlamını yitirme eldeki aksiyomatik sisteme göre olsa da başka oluşturulabilecek bir aksiyomatik sisteme göre bu hipotez çürütülebilir,olur.Ve devam eder.Diyelim ki bu hipotezin bir anlamı olduğunu kabul ettik.

Yeni bir aksiyomatik sistemi nasıl bulacağız ve daha önemlisi bulduğumuz sistemin aradığımız ''o” sistem olduğundan nasıl emin olacağız.?

Gödel'in burada da yanıtı aksiyomların üzerinde çalışarak, sonuçlardaki, özellikle de‘ doğrulanabilir' sonuçlardaki işlevselliğe bakarak olacaktır.

Gödel'in bu açıklamalarının arkasında,onun Platonculuğu yatar.. Platonculara göre,matematik nesneleri zaman ve mekandan yani fizik dünyadan bağımsız nesnelerdir.

Gödel aynı makalesinde devam eder.

'Yine de duyu tecrübelerimizden uzaklıklarına rağmen aksiyomların kendilerini bize doğru gibi kabul ettirmeleri olgusunda görüldüğü üzere, küme kuramının nesnelerinin bir algısına benzeyen bir şeye de sahibiz. Bu tür bir algıya yani matematiksel sezgiye duyu algısından daha az güvenmemiz için bir neden göremiyorum. Fiziksel kuramlar oluşturmamızı sağlayan duyu algıları, gelecekteki duyu algılarının bu kuramlarla uyumlu olmasını beklememize neden olur dahası şu an için kararsız olan bir sorunun bir anlamı olduğuna ve gelecekte karar verilebileceğine inanmamızı sağlar. Matematikteki küme-kuramsal paradokslar, fizikteki duyu yanılgılarından daha çok sıkıntılı değildirler. Cantor'un süreklilik hipotezi türü problemlerin bir çözümüne yol açacak, yeni matematiksel sezgilerin tamamen mümkün olduğu daha önce belirtilmiştir. '

Eksiklik teoremlerinin sonucu olarak karşımıza çıkan;formel aksiyomatik sistem matematiksel doğruluğu garantileyen bir yöntemdir fakat, ispatın değil.^{^[4]}

Hilbert'in Programı

Hilbert'in,başlattığı metamatematik programına göre amaç,

'anlamlarından soyutlanmış matematik sembolleri birbirine bağlayan bağların tutarlı ve çelişkisiz' olduğunu göstermekti.Böylece,meta-matematik, matematik konularının değil, matematiğin kendisinin incelenmesi olacaktı.Tutarlı olduğu kadar tamlığını da göstermeliydi.

Bu,bir anlamda bütün matematik teoremlerinin kanıtlarını bir bilgisayar yardımıyla elde etmeye benziyordu. Matematik sezgiyi dışarda bırakma pahasına.Ancak bu nasıl mümkün olabilirdi?

Örneğin bir dilde,gramerin temelini oluşturmak için hem sözcüklerin anlamına (anlambilim), hem de gramer kurallarına (sözdizimi) gerek vardır.Oysa dilbilimciler,gramer kurallarının temellerini oluşturmak isterken, sözcüklerin anlamını dışlasalardı kendilerini bir paradoks içinde bulurlardı.

Bundan kurtulmak için önce birkaç sözcüğün anlamını ve ' belli' bazı gramer kurallarını önceden kabul etmelidir. Hilbert de bunu yaptı.Bu işe gerçek matematik dediği az sayıda kuralla başladı.

Oysa Gödel'in Eksiklik teoremlerine göre,az sayıda aksiyomla yola çıkıp bütün matematiği icat etmek mümkün değildi¹ Bu şöyle de ifade edilebilir.

“Bir dilin tam tanımı, aynı dilde yapılamaz; çünkü bu yolla bir cümlenin doğruluğu tanımlanamaz”.

Tıpkı Escher tarafından çizilen ünlü Çizen El gravürü gibi. Bu gravür “kendini kaynak gösterme” (otoreferans) çelişkisini ifade eder. B eli, A elini çiziyorsa, A eli B elini çizemezdi.

Sürey Varsayımının Yankıları

Sürey varsayımının karar verilemez durumuna karşılık gelmesi,az sayıda da olsa tepkilere yol açar.. Örneğin,Wittgenstein ,sonluötesi küme kuramının gülünç olduğunu ileri sürer. Brouwer, sonsuzlukların büyük olması durumunu anlamsız olarak niteler.

Kimileri açısından da karar verilemezliğin, küme ve nesnenin yeniden kuruluşu açısından olanak olduğudur ve sonsuzluk düşüncesinin yapısının yeniden anlaşılmasına ihtiyaç vardır.Kimi entellektüel çevrelerce de toplumsal ve siyasi alana taşınarak varsayımın, istismar edildiği öne sürülür.5

Kimisi için de bu sonuçlar,Frege'ye sonra tekrar Kant'a gönderme yapar. Zira Kant'a göre, insan aklı kendi kavramlarını doğayla birlikte inşa eder.Bilginin kesinliği bize bağlıydı,doğruluk ise deneyimin zorunlu kılar.Yani sadece mantık yetmezdi. Ancak öte yandan Kant'a ters düşen bir durum da,sonsuzluğun edimsel kullanılımıdır..Zira sonsuzca büyüğü saymak sonsuz büyüklükteki zamanı gerektirir. Sezgiciler için ise,zihin baştan sona sayıları oluşturucu olarak bilebilmek zorundadır.Oysa Cantor'un reel sayıların büyüklüğü ile ilgili ispatı bu anlamda ispat değildir.Ve tek tek rakamların üzerinden geçmek için sonsuz adım gerekir.

Sürey Varsayımın izlediği yol,matematiğin icat mı keşif mi açısından bakıldığı ile de ilişkin durur. Eğer keşif olarak yaklaşılırsa,örneğin Frege açısından,aritmetik mantığa indirgenebilirdi.Ancak Frege'den sonra, Russell ve Whitehead'in da devam ettirdiği indirgeme işinin, Gödel ile birlikte olamayacağı ortaya çıktı.

Zira, bu yüzyılın başında relativite ve farklı geometrilerin ortaya çıkmasıyla tüm bakışlar olgulara çevrilmişti..Platoncuların asırlarca izini sürdükleri,zaman ve mekansız dolaşan matematik nesneler,artık fizik dünyamızdan seslenebilirdi.Bu sesleniş, evrene ilişkin bilinemezlik,yanılabilirlik gibi zihin yapılarımızdan ayrı düşünülemezdi..Matematik bir dildi,bir düşünceydi..Adeta yaşayan bir organizma gibi,teoremler de oluşturur,ispatlanamayan yapılar da..

Bu yüzyılın ortalarında,kesinliğin peşinden koşmanın yanıltıcı olduğu anlaşılmıştı. Ancak bu diğer bakımdan matematikçileri,yeni keşif alanları yaratmakta özgürleştirdi.Ve her zaman herşey başladığı gibiydi. Sonsuzluk odalarının sonu yoktu.

Sonsuzluk ne kadar büyüktür?

Sonsuzluğun niteliğini,ne kadar büyük olduğunu merak ederek başlamıştık.

Cantor,bu kavrama matematiksel kesinlik veren ilk matematikçiydi..

Sonsuzluk onunla tanım buldu.Birlikte onunla sonsuzluklar ülkesine gittik...

Doğal sayılardan çok daha kalabalık başka sonsuzluklar gördük. Hilbert Oteli'nin sonsuz odalarından sonsuz kere daha fazla. Onlardan da daha büyük başka sonsuzluklar.. Sonsuzluklar arası bir sonsuzluk aradık sonra.Bir bulduk bir kaybettik. Sanki bizden habersiz öylece dolaşan bir sonsuzluk!.

Bulmalıydık oysa ..Yoksa bulunamaz mıydı?.Hakikat neredeydi?

Öylece bıraktık orda..

Belki,kendi başına uyruk sonsuzluklar olabilirdi.Ya da bulabilmemizde bir sınır.

Belki de bu sınır, kendi sonsuzluklarımıza uzanan bir yoldu.

Hakikat neredeydi? Hakikat güzel olandaydı belki..Güzelliği yaratan iç karmaşamızda..

Tıpkı bir zamanlar bir şairin söylediği gibi..

Güzellik hakikattir,hakikat de güzellik,hepsi bu.

Dünyada bildiğimiz tek şey budur,bilmemiz gereken de..

Sevgi Çemberci/2016

1 Hilbert bu varsayımı öğrencilerinr anlatmış, her hangi bir metninde yer vermemiştir.Varsayımın ünlü olmasına katkı yapan George Gamow’dur.

[2] Cantor, küme kuramında, sonradan başka matematikçilerin göstereceği gibi bazı açmazların farkındaydı..Örneğin: Tüm kümelerin kümesine B diyelim. B' nin tüm alt kümelerinden oluşan kümeye de A diyelim. Biliyoruz ki: A kümesi B kümesini kapsıyor.Ancak B, tanım gereği tüm kümeleri kapsıyor olmalıydı..Bu bir çelişki!.. Bu açmaz, Cantor'un çalışmalarına dair bazı ipuçları da verir..Ontolojik olarak farklı iki tür sonsuzluk nasıl olabilir?. Farklı 2'ler var olamıyorsa.. Dahası bu sonsuzluk türleri birbirlerinden türetilemiyordu. Reel sayıların sayılamayan sonsuzluğunun, sayılabilir sonsuzluğa sahip doğal sayılardan türetilememesi gibi.

[3] Cantor da sonsuzlukla ilgili çalışmaları bir tür metafizik tavırla gerçekleştirir.Ancak matematiksel sonsuzluğu ele alışı yalnızca matematiğin sınırlarındadır..

[4] Burada anlatılmak istenen,Gödel'in Hilbert'in doğruluk kavramı yerine ispat kavramını ele alması ve bu kavram değişikliğinin bir 'eksikliğe ' işaret etmesidir.Bu eksikliğin,Bertrand Russell ve Alfred North Whitehead' ın birlikte ele aldıkları Principia Mathematica' da üst yapısal olaral eklenmiş Peano aksiyom sistemi hakkında olduğunu tekrar hatırlatmak gerekir.

Sonlu sayıda aksiyomla başladığımızı düşünelim.Gödel bu noktada bu aksiyomları kullanarak yazabileceğimiz her anlamlı cümleye karşı bir sayı dizisi kurdu.Daha sonra ispatlanabilecek bir cümleye karşılık gelen sayı dizisinin özel bir biçim göstermesi gerektiğini buldu.Bu şu demek.Bazı anlamlı cümleler yazabiliriz ama sistem içinde ispatlamayız.Daha açık bir deyişle bu varsayım kabul edilmiş aksiyomatik sistemden bağımsızdır.Yani bu sisteme kendisini ya da değilini ekleyin bu sistem yine tutarlıdır.Oysa bir sistemin tutarlı olması demek kendisi varsa değilinin olmaması demektir.

[5] Alan Sokal,Jean Bricmont;Son Moda Saçmalar,sayfa 203-208

KAYNAKLAR

Douglas R. Hofstadter ; Gödel,Escher,Bach :Bir Ebedi Gökçe Belik,2011,İstanbul,Pinhan Gödel;'Cantor'un Süreklilik Problemi Nedir?,2011,Bekir S.Gür,Matematik Felsefesi içinde,185-187

Ernest Nagel,James R. Newman ; Gödel Kanıtlaması,2007,İstanbul,Boğaziçi. Ün. Philip E. B. Jourdain, New York: Dover Publications, 1915.

David Hilbert,Sonsuz Üzerine ,Bekir S.Gür, Maematik Felsefesi içinde,113

Bertrand Russell,Matematiksel Mantığın Felsefi Önemi ,Bekir S.Gür, Matematik Felsefesi içinde,101

Lakatos;Proofs and Refutations;1976,Cambrige Üniversitesi

Carl b. Boyer ; MatematiğinTarihi,2015,Doruk

Çitil, Ahmet Ayhan; Matematik ve Metafizik, İstanbul:Alfa, 2012.

Nesin, Ali; Sezgisel Kümeler Kuramı. İstanbul: Nesin Matematik Köyü, 2013.

Nesin, Ali; Aksiyomatik Kümeler Kuramı. http://www.acikders.org.tr/pluginfile.php/572/ mod_resource/content/0/hafta_15.pdf,

Stephen F. Barker ,Matematik Felsefesi,2003,İmge

Bekir Gür ; 'Matematik Belası' Üzerine ,2012,Nesin Matematik Köyü

Alain Badıou;Sonlu ve Sonsuz ,2013,Monokl Yayınları

Bekir S Gür; Matematik Felsefesi,2011,Kadim yayınları

George Lakoff-Mark Johnson;Metaforlar ,Hayat;Anlam ve Dil,2005,Paradigma

Eugenia Cheng; İnfinity Beyond,2017

Alan Sokal,Jean Brichmon;Son Moda Saçmalar,Postmodern Aydınların Bilimi İstismar Etmesi,2011,Alfa

matheterra